例外李代数的新刻画

对于复数域 $\mathbb{C}$ 上的单李代数，我们考虑所有单根之和构成的权，并将其记为 $\tilde{\alpha}$。我们形式化地使用 Kostant 权重多重性公式来计算零权空间的“维数”。在 $A_r$ 型中，$\tilde{\alpha}$ 是最高根，因此该维数即为李代数的秩。在 $B_r$ 型中，这是定义表示，其维数等于 1。在其余情形中，权 $\tilde{\alpha}$ 不是支配权，也不是有限维不可约表示的最高权。在这些情况下，Kostant 权重重数公式赋予了一个虚拟表示一个数值。然而，关键在于当且仅当该李代数为经典李代数时，此数值非零。这引出了对例外李代数的新刻画：它们是使该值为零的唯一李代数。