双退火抛物-椭圆养分迁移系统的弱全局可解性

本文研究如下双退火抛物-椭圆养分迁移系统 $$\begin{cases} u_t = (uvu_x)_x -(u^2 vv_x)_x + uv, \\ [1.5 ex] \hspace{0.2 cm}0 = v_{xx} - uv + f(x,t), \end{cases}$$ 在有界区间 $\Omega \subset \mathbb{R}$ 内, 受无质量边界条件约束, 初始值满足非负条件 $u(x,0) = u_0(x) \geq 0$, 其中 $f(x,t) \geq 0$ 为已知的养分外部供给。证明当任意非负 $u_0 \in W^{1,\infty}(\Omega)$ 且 $f \in C^1\big(\bar{\Omega} \times [0,\infty) \big)$, $f \not \equiv 0$ 时, 本问题可通过正则化方法构造出全局弱解。分析的核心在于第二式的 Harnack 类型不等式, 该不等式使我们能够克服均匀 coercivity 的不足。结合时间正则性质, 我们通过阿尔齐亚-阿斯科利定理和阿布林-利蒙德引理的组合, 获得相对紧凑性。