扭曲锥、(非) 刚性及分段性质（附 Dawid Kielak 联合附录）

我们证明了如果扭曲锥的拟等距是由锥底空间之间的映射诱导的，则作用必须通过该映射共轭。反之一般不成立，即作用的共轭不足以导致相应扭曲锥的拟等距。对于扭曲锥的一般拟等距，利用之前与 Jianchao Wu 共同构建的渐近忠实覆盖，我们推导出这两个群在与适当幂次的整数取笛卡尔积后是拟等距的。其次，我们通过该群作用上的扭曲锥的性质来刻画群的几何性质（到 Banach 空间的粗嵌入性、渐近维数、性质 A）。这些结果适用于任意渐近忠实覆盖，特别是盒空间。作为应用，我们计算了扭曲锥的渐近维数，改进了 Szab\'o、Wu 和 Zacharias 以及 Bartels 关于 virtually nilpotent 群作用的可均分维数的界限，并部分回答了 Willett 关于动态渐近维数的问题。在附录中，我们通过展示拟等距的扭曲锥未必来自拟等距的群（这与盒空间的情形相反），证明了上述关于一般拟等距结果的最优性。