可缩光滑概形上的向量丛

我们从 $\mathbb{A}^1$-同伦论的角度讨论了可缩光滑 $k$-概形 $X$ 上的代数向量丛；当 $k = \mathbb{C}$ 时，光滑流形 $X(\mathbb{C})$ 作为拓扑空间是可缩的。此类概形的整代数 K-理论和整动机上同调与 $\text{Spec } k$ 相同。人们可能希望，此外，类比于流形上拓扑向量丛的分类，此类概形上的代数向量丛都同构于平凡丛；当概形为仿射时，这几乎肯定是成立的。然而，在非仿射情况下这是错误的：我们表明，（本质上）每个允许 $U$-挠子且其全空间为仿射的光滑 $\mathbb{A}^1$-可缩严格拟仿射概形（其中 $U$ 为幂零群），都拥有一个非平凡向量丛。事实上，我们构造了显式的任意维非同构此类概形族，族中的每个概形都配备了“尽可能多”（即任意维模空间）的非同构向量丛，适用于每一个足够大的秩 $n$；无论是这些概形还是其上的向量丛，都无法通过代数 K-理论加以区分。我们还讨论了某些光滑复仿射簇上向量丛的平凡性，这些簇的基础复流形是可缩的，但不一定是 $\mathbb{A}^1$-可缩的。