对角子概型与向量丛

我们研究光滑簇 $X$ 对角嵌入其笛卡尔平方时,何时为 $X\times X$ 上秩为 $\dim(X)$ 的向量丛的截面的零概型。我们称之为对角性质 (D)。已知其对所有旗流形 ${\rm SL}_n/P$ 成立。我们主要考虑真光滑簇的情形,以及光滑流形(拓扑情形)的类似问题。在真簇情形下我们的主要新观察是 (D) 与 $X$ 上上同调平凡线丛之间的关系,这是通过修改 Serre 关于秩 2 向量丛与余维 2 子概型的经典论证,并结合 Serre 对偶得到的。基于此,我们得到了关于曲面的若干详细结果,以及高维中的一些结果。对于光滑仿射簇,我们观察到对代数闭域上的仿射代数群,对角实际上是一个完全交;因此使用平凡丛时 (D) 成立。我们猜想存在使 (D) 不成立的光滑仿射复簇;这引出一个关于投射模的有趣问题。拓扑情形中的论证风味不同,用到同伦论、拓扑 K 理论、指标理论等。根据所想要的向量丛类型(任意、定向或复),对角问题有 3 种变体。我们得到对角性质作为某类映射的同伦类的扩张问题的同伦论重构。我们在几种情形下也有详细结果:球面、奇维复射影二次超曲面,以及带近复结构的偶维 $\le 6$ 的流形。