Jost 和 Pais 主题的变奏

我们探讨了 Jost 和 Pais 提出的一个著名公式的变体在多大程度上可以推广到更高维度，该公式将与半直线上 Schr"odinger 算子相关的 Fredholm 微扰行列式简化为底层 Schr"odinger 方程适当分布解的简单 Wronski 行列式。在这个多维扩展中，半直线被一个开集$\Omega\subset\bbR^n$ ($n\in\bbN$, $n\geq 2$) 所取代，其中$\Omega$具有满足某些正则性条件的紧致非空边界$\partial\Omega$。我们的变体涉及对应于$\partial\Omega$上 Dirichlet 和 Neumann 边界条件的微扰行列式之比，并调用了相应的 Dirichlet-to-Neumann 映射。结果，我们成功地将与$L^2(\Omega; d^n x)$ ($n\in\bbN$) 中算子相关的某些修正 Fredholm 微扰行列式之比，简化为与$L^2(\partial\Omega; d^{n-1}\sigma)$ ($n\geq 2$) 中算子相关的修正 Fredholm 行列式。讨论了涉及 Birman-Schwinger 原理和本征值计数函数的应用。