变分识别触发平面 Couette 流转捩的最小种子

采用包含完整 Navier-Stokes 方程的变分公式，识别具有有限动能 $E_{0}$ 的初始扰动，这些扰动在平面 Couette 流中能在所有可能时间间隔内产生最大的扰动动能增益。选取了两种不同的代表性流动几何结构，分别对应 Butler & Farrell (1992) 和 Monokrousos et al. (2011) 此前使用的结构。在前者（较小几何结构）情形下，随着 $E_{0}$ 从 0 增加，我们发现最优解是 $E_{0} = 0$ 处众所周知的线性结果的平滑非线性延续。然而在 $E_{0} = E_{c}$ 时，发现了完全无关的状态，它们触发湍流并导致我们的算法无法收敛。当 $E_{0} \rightarrow E^{+}_{c}$ 时，我们有充分证据表明触发湍流的初始条件趋近于一个“最小种子”，该种子对应于层流 - 湍流盆边界或“边缘”上能量最低的状态。这一情况在 Monokrousos et al. (2011) 的（较大）几何结构中重复出现，但有一个显著的新特征——在有限 $E_{0} < E_{c}$ 处出现了一个非线性最优解（正如 Pringle & Kerswell (2010) 最近在管流中发现以及 Cherubini et al. (2010) 在边界层流中发现的那样），其结构与线性最优解截然不同。同样，$E_{0} = E_{c}$ 处的最小种子既不像线性最优解，也不像现在的非线性最优解。我们的结果支持 Pringle et al. (2011) 最近提出的两个猜想中的第一个，但反驳了第二个。重要的是，他们的预测得到了证实：只要湍流产生较高的值，优化泛函的形式对于识别 $E_{c}$ 并不重要；我们在 Monokrousos et al. (2011) 的几何结构中发现，使用能量增益而非总耗散时，得到的 $E_{c}$ 和最小种子看起来是相同的。