具有 $L_{\infty }$ 对称椭圆系数张量的斯托克斯系统层势的变分方法及其在斯托克斯与纳维-斯托克斯边值问题中的应用

本文的首要目标是在 ${\mathbb R}^n$（$n\geq 3$）的Lipschitz有界域与外域上，针对具有满足对称矩阵椭圆性条件的 $L_{\infty }$ 黏度系数张量的各向异性斯托克斯系统，于基于 $L_2$ 的加权Sobolev空间中建立层势理论。为此，我们探究等价的混合变分公式，并证明各向异性斯托克斯系统在 ${\mathbb R}^n$ 的Lipschitz域中某些传输问题的适定性，给定数据属于基于 $L_2$ 的加权Sobolev空间。这些结果用于定义牛顿势与层势并获取其性质。随后我们分析了具有 $L_{\infty }$ 对称椭圆系数张量的斯托克斯系统外域Dirichlet、Neumann与混合问题的适定性。其中部分问题的解也用各向异性斯托克斯牛顿势与层势表示。最后，我们证明了 ${\mathbb R}^3$ 中互补Lipschitz域上各向异性纳维-斯托克斯系统在基于 $L_2$ 的加权Sobolev空间中一般数据的传输问题弱解的存在性。该分析依赖于有界域族中各向异性纳维-斯托克斯系统Dirichlet问题的存在性结果，以及Leray-Schauder不动点定理。