轴对称涡环的消失粘性极限

对于 $R^3$ 中粘性系数 $\nu>0$ 较低的不可压缩 Navier-Stokes 方程，我们考虑初始涡量 $\omega_0$ 的柯西问题，该初始涡量表示支撑在一个圆上的任意给定强度 $\Gamma$ 的无限细涡丝。解的速度场 $\omega(x,t)$ 在任何正时刻都是光滑的，并对应于厚度为 $\sqrt{\nu t}$ 的涡环，由于自诱导沿其对称轴平移，这一效应由 Helmholtz 于 1858 年预见并由 Kelvin 于 1867 年量化。对于小粘性，我们证明 $\omega(x,t)$ 在一个大时间区间上被 $\omega_{lin}(x-a(t),t)$ 很好地逼近，其中 $\omega_{lin}(\cdot,t)=\exp(\nu t\Delta)\omega_0$ 是以 $\omega_0$ 为初值的热方程解，且 $\dot a(t)$ 是由 Kelvin 公式给出的瞬时速度。这为弱粘性流体中圆形涡丝的副法线运动提供了严格证明。证明依赖于使用自相似变量中的微扰展开构造精确的近似解。为验证该近似的稳定性，需要排除线性化算子中来自非常大平流项的潜在不稳定性。这是通过将 V. I. Arnold 在无粘情形 $\nu=0$ 下发展的几何稳定性方法适配到微粘情形来完成的。结果表明，尽管 Arnold 方法背后的几何结构在 $\nu > 0$ 时不再被方程保持，但相关的二次型在比 Arnold 理论最初使用的更大子空间上表现良好，并与粘性项产生有利相互作用。