Ceresa 循环的消失准则

设 $C$ 是一条光滑射影曲线，$J$ 是其雅可比簇。我们证明了 Ceresa 循环 $\kappa(C) \in \mathrm{CH}_1(J)\otimes \mathbb{Q}$ 在 $J$ 的 1-循环的周群中消失的准则。即：$(A)$ 若 $\mathrm{H}_{\mathrm{prim}}^3(J)^{\mathrm{Aut}(C)} = 0$，则 $\kappa(C)$ 消失；$(B)$ 若 $\mathrm{H}^0(J, \Omega_J^3)^{\mathrm{Aut}(C)} = 0$ 且霍奇猜想成立，则 $\kappa(C)$ 在代数等价意义下消失。然后我们研究了第一个有趣的情形，即条件 $(B)$ 成立而 $(A)$ 不成立，即 Picard 曲线 $C \colon y^3 = x^4 + ax^2 + bx + c$ 的情形。利用 Schoen 关于霍奇猜想的工作，我们证明了 Picard 曲线的 Ceresa 循环在 Griffiths 群中是挠元。此外，我们精确地确定了它在周群中何时是挠元。作为副产品，我们证明了在 $\mathbb{Q}$ 上存在无穷多条具有挠 Ceresa 循环的平面四次曲线（事实上，存在一个这样的曲线的单参数族）。最后，我们确定了哪些自同构群层包含在 $\mathcal{M}_3$ 上通用 Ceresa 循环的消失轨迹中。