曲线覆盖、Ceresa 循环与不太可能的相交

固定一族特征零场上光滑、射影、几何积分的曲线 $C$，其 genus $g \geq 2$。我们证明了对一般光滑包络覆盖 $\widetilde{C}$ 的 Ceresa 循环 $\mathrm{Cer}(\widetilde{C})$ 在其雅可比的 Chow 群中为非张力元素。我们还表明，在一族变化的曲线包络中，存在无限多的包络覆盖家族，其中这些家族的一般点对应的曲线具有非张力 Ceresa 循环。为此举例说明，我们给出两个显式的、分别为维数为 $1$ 和 $2$ 的 genus 为 $6$ 的曲线族，其中具有张力 Ceresa 循环的轨迹在 Zariski 拓扑下闭合且具有正维数。我们的策略是将曲线的 Ceresa 循环是否为张力的问题归约为其雅可比上相关点是否为张力的问题。为此，我们使用 Ceresa 循环的“相对标准影”（relative canonical shadow），即通过与覆盖映射产生的自然对应关系相交后得到的雅可比上的一个点。我们将此与不太可能的相交理论中的思想（即相对 Manin--Mumford 定理）相结合，以研究相对标准影在张力时刻的轨迹。