基于扰动理论的 Urschel 节点域

我们基于 Urschel 提出的不变式，证明了图上广义 Laplacian 的若干类 Courant 节点域定理。我们将该不变式称为"Urschel 数"，记作${\rm UN}({\bf f})$，其中${\bf f}$为特征向量。我们对 Urschel 的不变式进行了细化，并运用扰动技术获得了一些新结果。首先，我们证明存在一组相互正交的特征向量，使得若第$k$特征值具有重数$m$，则对$0\le j\le m-1$，有${\rm UN}({\bf f}_{k+j})\le k+\min(j,(m-1)-j)$。其次，对于简单特征值$k$，我们将${\bf f}_k$的零点分类为"浅"或"深"，并得到若干结果：大致地说，${\bf f}_k$具有更多浅顶点，我们对该不变式就拥有更大的控制力。我们对${\bf f}_k$的新型不变式为一个整数序列，其最小值是${\rm UN}({\bf f}_k)$，而其最大值记作${\rm UN}_{\max{}}({\bf f}_k)$，为${\bf f}_k$任何可能的正/负符号或"电荷"的零点的最大节点域数。我们提供了若干示例说明主要结果及其与分析情形的差异。我们还描述了在特征值具有足够大重数的正交特征基中，对 Gladwell-Zhu 定理的一个微小改进。