Barwick 展开构造的泛性质

给定具有拉回的 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$，其 span 的 $(\infty,2)$-范畴 $\mathbf{Span}(\mathcal{C})$ 具有将满足 Beck-Chevalley 条件的 $\mathcal{C}$ 中态射自由地添加右伴随的泛性质。我们证明这一泛性质由 Barwick 的 \emph{展开构造} 的 $(\infty,2)$-范畴精化来实现：对于任意右可伴随函子 $\mathcal{C} \to \mathrm{Cat}_{\infty}$，其到 $\mathbf{Span}(\mathcal{C})$ 的唯一扩张的 unstraightening 可以显式地表示为另一个 span $(\infty,2)$-范畴，并且在底层的 $(\infty,1)$-范畴上这恢复了 Barwick 的构造。作为应用，我们证明 Nardin-Shah 与 Cnossen-Haugseng-Lenz-Linskens 的笛卡尔范数结构构造是一致的。