平面 Lévy 过程形状的普适性与时间尺度不变性

对于一大类平面 Markov 过程，即满足特定条件的 Lévy 过程（例如在 Brown 运动和 Lévy 飞行的情形下有效），我们建立了一个精确且普适的公式来描述样本路径凸包的形状。我们确实证明了，连接相隔时间间隔 $\Delta \tau \in \left[\Delta \tau _1, \Delta \tau_2\right]$ 的路径点的平均边数等于 $2\ln \left(\Delta \tau_2 / \Delta \tau_1 \right)$，这与过程增量的具体分布无关，也与其总持续时间 $T$ 无关。该公式在时间尺度乘以任意常数时也表现出不变性。除了其理论重要性外，我们的结果还为由随机过程样本路径（例如聚合物链）建模的二维对象的形状提供了新见解：特别地，对于总时间（或参数）持续时间 $T$，凸包上的平均边数（“截断”以丢弃连接相隔时间间隔短于某个 $\Delta \tau < T$ 的点的边）将由 $2 \ln \left(\frac{T}{\Delta \tau}\right)$ 给出。因此，它只会呈对数增长，而不是以某种更快的速度增长。