齐次和的普适性与四阶矩定理：正交多项式与极配极

本论文的目标有三部分：前两部分致力于探索齐次和的四阶矩定理与普适性性质，而最后一部分通过二元形式的不变理论来探讨正交多项式的经典理论。具体而言，第一部分处理自由概率空间中影响函数的 Lindberg 方法。通过为自由独立变量上的齐次和提供一般的多维不变性原理，将导出一类满足所谓四阶矩现象的半圆与自由泊松近似的普适律。已知齐次和的四阶矩现象适用于例如 X 为高斯、泊松、半圆或自由泊松分布时。是否存在使该现象成立的特征性质，还是它偶然发生？第二部分的目的是刻画随机变量 X，使得基于 X 的独立同分布副本的齐次和（在经典与自由概率空间中）验证四阶矩定理。主要结果将确定 X 的四阶累积量上的一个条件，该条件对四阶矩定理成立是充分的。也讨论了该条件的最优性。第三部分具有纯代数风味，旨在通过 Kung 和 Rota 引入的符号方法，在二元形式的不变理论内重述多项式的正交性。进而，通过聚焦极配极(apolarity)，实现了（任意变量数目的）正交多项式（广义）序列的统一表示，并导出了随机判别式的矩的显式公式。在累积量的这一具体情形下，给出了基于对角测度的随机积分的组合方法的关注点。