通过曲线缩短的非局部等周问题临界点的唯一性结果

利用保面积曲线缩短流以及一个关于集合产生的势与其曲率的新不等式，我们研究了一个非局部等周问题，该问题出现在二嵌段共聚物熔体的研究中，也称为Ohta-Kawasaki能量。我们能够证明，在边界温和假设下，在小能量/质量区域中，唯一的连通临界点是球体。特别地，该类包括$\mathbb{R}^2$中所有可求长的连通1-流形。我们还分类了该区域中环面上的单连通临界点，表明唯一可能性是条纹图案和球体。在$\mathbb{R}^2$中，这可以看作是Fraenkel关于牛顿势能临界点唯一性的著名结果和Alexandrov关于周长泛函的结果的部分结合，但仅限于平面。$\mathbb{R}^2$中结果的证明类似于Gage的曲线缩短结果，但涉及非局部周长泛函，因为我们证明了凸集沿流的能量严格递减。利用相同的技术，我们得到了$\mathbb{R}^2$中极小化子和环面上条纹图案的稳定性结果，后者最近被证明在非局部性足够小时是能量的全局极小化子。