标准互反成本的唯一性

我们研究了作用于 $F:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{\ge 0}$ 的函数，这些函数惩罚正比值偏离平衡 $x=1$ 的情况。假设 (i) $\mathbb{R}_{>0}$ 上的 d'Alembert 类型组成法则，和 (ii) 在单位处的单个二次校准 (在对数坐标中)，我们证明了 $F$ 是唯一确定的。组成法则意味着归一化 $F(1)=0$。唯一解称为标准互反成本，即 $x$ 及其互反数的算术平均数与几何平均数的差。我们的证明使用对数坐标 $H(t)=F(e^t)+1$，其中组成法则在 $\mathbb{R}$ 上变为 d'Alembert 方程。校准提供了invoke经典连续解分类所需的最小正则性，并固定剩余的比例自由度，选择双曲余弦分支。我们还确立了每个假设的必要性：没有校准，组成法则 admits 一个连续的一参数族；没有组成法则，校准不会确定全局形式；没有正则性，组成法则 admits 病态的不可测解。最后，我们为近似解建立了在有界缺陷下的稳定性估计并描述了标准成本的一些性质。