线性约束下正定矩阵的唯一逆分解
最优化与控制
2026-01-27 v1 数值分析
数值分析
摘要
我们研究正定矩阵非线性分解为两个分量的问题：另一个正定矩阵的逆与一个受限于给定线性子空间的对称矩阵。等价地，要求逆分量属于该子空间关于迹内积的正交补。在对子空间施加一个尖锐的非退化条件下，我们证明每个正定矩阵均存在这种形式的唯一分解。该分解具有变分特征，即作为严格凸 log-determinant 优化问题的唯一极小化点，这进而产生一个自然的对偶公式，可在计算上被高效利用。我们推导了若干性质，包括分解的稳定性。我们进一步开发了具有可证明收敛保证的保可行 Newton 型算法，并依据分解矩阵与底层子空间的代数性质分析了其每次迭代的复杂度。最后，我们证明所提出的分解自然出现于数学金融中的核心问题——指数效用最大化之中。
引用
@article{arxiv.2601.18662,
title = {A Unique Inverse Decomposition of Positive Definite Matrices under Linear Constraints},
author = {Yan Dolinsky and Or Zuk},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.18662},
year = {2026}
}