基于 PDE 的反问题中约束松弛的分析

反问题在科学与工程中无处不在。其中许多问题自然地表述为 PDE 约束优化问题。这些非线性、大规模、带约束的优化问题面临诸多挑战，其中问题固有的非线性是一个重要挑战。本文聚焦于 PDE 约束优化问题的松弛形式，并对其进行深入分析。从带有离散数据的反问题的无穷维表述出发，我们提出了一个用于分析和离散化此类问题的通用框架。研究表明，PDE 约束优化问题的松弛形式可归结为一个加权非线性最小二乘问题。权重矩阵恰好是 PDE 解的 Gram 矩阵，并且在某些情况下，可以直接从测量数据中估计。后一观察结果指出了一种潜在途径，可将最近提出的用于反问题的数据驱动降阶模型与 PDE 约束优化统一起来。我们提供了若干代表性案例研究和数值算例来说明我们的发现。