三阶张量的规范多向分解：宽松的唯一性条件与代数算法

三阶张量的规范多向分解（CPD）是将其最小化分解为秩 -1 张量之和。我们找到了 CPD 中单个秩 -1 张量唯一性的新的温和确定性条件，并提出了一种恢复它们的算法。我们将该算法称为“代数”算法，因为它仅依赖于标准线性代数。它不涉及比计算矩阵零空间和特征/奇异值分解更高级的过程。模拟表明，对于随机生成的 $I\times J\times K$ 张量，若其秩 $R\geq K\geq J\geq I\geq 2$ 且 $R$ 受限于 $R\leq (I+J+K-2)/2 + (K-\sqrt{(I-J)^2+4K})/2$，则新的唯一性条件和算法的工作假设在我们测试的维度范围内均成立。只要 $I\geq 3$，这就改进了著名的唯一性 Kruskal 界 $R\leq (I+J+K-2)/2$。在 $R=K$ 的特例中，上述新界等价于 $R\leq(I-1)(J-1)$，已知这是 CPD 通用唯一性的充要条件。现有的代数算法（基于一组矩阵的同时对角化）在更严格的约束 $R(R-1)\leq I(I-1)J(J-1)/2$（意味着 $R<(J-\frac{1}{2})(I-\frac{1}{2})/\sqrt{2}+1$）下计算 CPD。另一方面，基于优化的算法即使在低维情况 $I=3$，$J=7$，$K=R=12$ 下也无法在合理时间内计算 CPD。相比之下，在我们的方法中，计算耗时少于 $1$ 秒。我们证明，至少对于 $R\leq 24$，我们的算法可以在 $R\leq(I-1)(J-1)$ 的范围内恢复 CPD 中的秩 -1 张量。