一类涉及多伽马函数的函数的非平凡完全单调性唯一性

对于 $m,n\in\mathbb{N}$，令 $f_{m,n}(x)=\bigr[\psi^{(m)}(x)\bigl]^2+\psi^{(n)}(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上定义。本文通过两种方法证明，在所有 $m,n\in\mathbb{N}$ 的 $f_{m,n}(x)$ 中，只有 $f_{1,2}(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上具有非平凡的完全单调性。准确地说，函数 $f_{1,2}(x)$ 和 $f_{m,2n-1}(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上是完全单调的，但 $(m,n)\ne(1,1)$ 时的函数 $f_{m,2n}(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上既不单调，也不保持同号。