二元有理函数的联合完全单调性及环面 $m$-等距对

我们讨论对多项式 $p : \mathbb R^2_+ \rightarrow (0, \infty)$ 的分类问题，使得 $\frac{1}{p}=\{\frac{1}{p(m, n)}\}_{m, n \geq 0}$ 为联合完全单调，其中 $p$ 是关于 $y$ 的线性多项式。我们证明：若 $p(x, y)=a+b x+c y+d xy$ 且 $a > 0$、$b, c, d \geq 0$，则 $\frac{1}{p}$ 联合完全单调当且仅当 $a d - b c \leq 0$。我们还给出了其在环面 $3$-等距加权 $2$-移位的 Cauchy 对偶次正规性问题中的应用。