线性同余式无零或无重复解的计数与$b$-乘性序列中的稀疏化

考虑一个强$b$-乘性序列和一个素数$p$。研究其$p$-稀疏化在于刻画由$p$的倍数索引的前几项之和的渐近行为。整数值“范数”三元多项式$\mathcal N_{p,i_1,i_2}(Y_0,Y_1,Y_2)\!:=\!\prod_{j=1}^{p-1}\left(Y_0{+}\zeta_p^{i_1j}Y_1{+}\zeta_p^{i_2j}Y_2\right)$决定了这种渐近行为，其中$\zeta_p$是本原$p$次单位根，且$i_1,i_2{\in}\{1,2,\dots,p{-}1\}$。本文将展示一种组合方法可应用于$\mathcal N_{p,i_1,i_2}(Y_0,Y_1,Y_2)$。该方法能够推导出系数之间的函数关系以及$\mathcal N_{p,i_1,i_2}(Y_0,Y_1,Y_2)$系数的各种性质，特别是对于$i_1{=}1,i_2{=}2,3$的情况。该方法提供了二项式系数之间的关系。它给出了两个恒等式$\prod_{j=1}^{p-1}\left(1{-}\zeta_p^j\right){=}p$和$\prod_{j=1}^{p-1}\left(1{+}\zeta_p^j{-}\zeta_p^{2j}\right){=}L_p$（第$p$个 Lucas 数）的新证明。还可以获得$1{+}\zeta_p{-}\zeta_p^2$的对称多项式的符号及其模$p$的余数。文中还开发了一种计算$\mathcal N_{p,i_1,i_2}(Y_0,Y_1,Y_2)$系数的算法。