基于 Fredholm 积分方程的首达时间分布唯一性

设 $W$ 为标准布朗运动且 $W_0 = 0$，设 $b: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ 为连续函数且 $b(0) > 0$。首达时间（从下方）定义为 \begin{align*} \tau := \inf \{ t \geq 0 \vert W_t \geq b(t) \}. \end{align*} 众所周知，$\tau$ 的分布 $F$ 满足一组第一类 Fredholm 方程，该方程组被用作例如数值方法的起点。为此，Fredholm 方程具有唯一解这一性质是基础性的。本文中，我们在一般设定下使用分析方法证明了这一点。