二部硬核模型中的唯一性与快速混合
数据结构与算法
2023-05-02 v1 概率论
摘要
我们刻画了仅在一侧有度限制的二部图上的硬核模型的唯一性条件，并给出了一个在唯一性阈值之前有效的近线性时间采样算法。我们表明，二部图的唯一性阈值与一般图的树唯一性阈值形式几乎相同，只是度限制仅出现在二部划分的一侧。来自统计物理的硬核模型可视为独立集的加权计数。其二部版本（#BIS）是近似计数中一个核心的开放问题。与一般的图上的同一问题相比，已经识别出一些令人惊讶的可处理区域，而这些区域在一般情形下被认为是困难的。这得益于两条算法路线：始于 Liu 和 Lu（STOC 2015）的高温算法，以及始于 Helmuth、Perkins 和 Regts（STOC 2019）的低温算法。在本工作中，我们研究这些算法在高温情形下的极限。我们对唯一性条件的刻画是通过证明在可以说是最佳可能区域上的相关性衰减得到的，这涉及定位多元迭代有理映射的不动点并证明其压缩性。我们还给出了一个基于仅在二部图一侧模拟场动力学的近线性时间采样算法，该算法在唯一性阈值之前有效。我们的算法与 Liu 和 Lu 的原始高温算法非常不同，它利用了马尔可夫链的相关性衰减与谱独立性之间的联系。最后同样重要的是，我们能够证明二部图两侧的的标准 Glauber 动力学在唯一性阈值之前以多项式时间混合。
引用
@article{arxiv.2305.00186,
title = {Uniqueness and Rapid Mixing in the Bipartite Hardcore Model},
author = {Xiaoyu Chen and Jingcheng Liu and Yitong Yin},
journal= {arXiv preprint arXiv:2305.00186},
year = {2023}
}