非唯一性区域上随机正则二部图的着色与独立集采样

对于自旋系统，如 $q$-着色和独立集模型，在所谓非唯一性区域（模型展现长程关联）中近似配分函数，对有限度图通常是计算困难的。我们给出了在非唯一性区域中，于随机正则二部图上近似自旋系统配分函数及从 Gibbs 分布采样的新的算法结果。我们对几乎每个 $\Delta$-正则二部图上的 $q$-着色给出了当偶数 $q=O\big(\tfrac{\Delta}{\log{\Delta}}\big)$ 时的 $\mathsf{FPRAS}$。这相较于唯一性区域中一般图的采样算法仅差 $O(\log{\Delta})$ 因子，并显著改进了 Jenssen、Keevash 和 Perkins (SODA'19) 先前的最佳界 $q=O\big(\tfrac{\sqrt{\Delta}}{(\log\Delta)^2}\big)$。类似地，对于由 $\lambda>0$ 加权的独立集硬核模型，我们给出了当 $\lambda=\Omega\big(\tfrac{\log{\Delta}}{\Delta}\big)$ 时估计配分函数的 $\mathsf{FPRAS}$，相较先前结果改进了 $\Omega(\log \Delta)$ 因子。我们关于着色和硬核模型的结果源于一个适用于任意自旋系统的通用结果。我们的主要贡献是展示如何利用聚合物方法，将随机二部正则图上相的典型结构的边缘概率的概率/分析界提升为高效算法。我们进一步表明，我们关于着色的结果在使用当前聚合物方法途径下在常数因子内接近最佳可能。