铁磁 Potts 模型：细化的 #BIS-硬度及相关结果
计算复杂性
2016-09-15 v3 数学物理
math.MP
概率论
摘要
近期研究确立，对于 2-自旋反铁磁系统，在最大度为 D 的图上近似配分函数的计算复杂性会经历一个相变，该相变与无限 D-正则树上的唯一性相变重合。针对铁磁 Potts 模型，我们研究了类似的硬度结果是否成立。Goldberg 和 Jerrum 表明，近似铁磁 Potts 模型的配分函数至少与近似二分图中的独立集数量一样困难（#BIS-硬度）。我们通过将该硬度结果确立于最大度为 D 的二分图之上，改进了这一结论。我们首先给出了无限 D-正则树相图的详细图像，细化了其一阶相变的描述，并确立了无序相与有序相共存的临界温度。随后，我们证明了对于所有低于该临界温度的温度，在最大度为 D 的二分图上近似配分函数是 #BIS-困难的。作为推论，当 k <= D/(2 ln D) 时，在最大度为 D 的二分图上近似 k-着色数量也是 #BIS-困难的。铁磁 Potts 模型的 #BIS-硬度结果利用随机二分正则图作为归约中的 gadget。对这些随机图的分析依赖于近期建立的关联：其配分函数期望的最大值、相关树递归的吸引不动点以及诱导矩阵范数。我们将这些关联扩展至所有铁磁模型的随机正则图，并为随机正则图上的每个铁磁自旋系统确立了 Bethe 预测。此外，我们还证明了对于铁磁 Potts 模型，在大 q 值下的临界温度处，Swendsen-Wang 算法在随机 D-正则图上是缓慢混合的。
引用
@article{arxiv.1311.4839,
title = {Ferromagnetic Potts Model: Refined #BIS-hardness and Related Results},
author = {Andreas Galanis and Daniel Stefankovic and Eric Vigoda and Linji Yang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1311.4839},
year = {2016}
}
备注
To appear in SIAM J. Computing