受限玻尔兹曼机与波茨模型同一性测试的困难性

我们研究受限玻尔兹曼机（RBMs）以及更一般地无向图模型的同一性测试（identity testing）。给定对应于未知或隐藏模型 $M^*$ 的吉布斯（Gibbs）分布的样本访问权限，并给定一个显式模型 $M$，我们能否区分 $M = M^*$ 还是它们在统计意义上相距甚远？Daskalakis 等人（2018）提出了针对铁磁（吸引）伊辛（Ising）模型同一性测试的多项式时间算法。相反，对于反铁磁（排斥）伊辛模型，Bez\'akov\'a 等人（2019）证明除非 $RP=NP$，否则当 $\beta d=\omega(\log{n})$ 时不存在同一性测试算法，其中 $d$ 为可见图的最大度，$\beta$ 为绝对意义上的最大边权。我们证明了RBMs（即二部图上的混合伊辛模型）的类似困难性结果，即便在没有潜变量或外场的情况下也是如此。具体而言，我们表明若 $RP \neq NP$，则当 $\beta d=\omega(\log{n})$ 时不存在针对RBMs的多项式时间同一性测试算法；当 $\beta d =O(\log{n})$ 时，存在一种利用 Klivans 和 Meka（2017）结构学习算法的有效同一性测试算法。此外，我们证明了针对具有不一致外场的纯铁磁RBMs以及铁磁波茨（Potts）模型的类似下界。Bez\'akov\'a 等人（2019）先前的同一性测试困难性结果利用了寻找最大割（maximum cuts）的困难性，这对应于反铁磁伊辛模型的基态。由于RBMs位于二部图上，此类方法不可行。我们转而引入一种通用方法，从相应的近似计数问题归约，并利用RBMs和平均场波茨模型所展现的相变。