广义外场中Potts模型配分函数与加权集合图着色的精确结果

我们给出了在各种图族$G$上，处于广义外磁场中的$q$态Potts模型配分函数的精确结果，该外场有利于或不利于总自旋值集合的子集$I_s = \{1,...,s\}$中的自旋值，记为$Z(G,q,s,v,w)$，其中$v$和$w$是依赖于温度和场的玻尔兹曼变量。我们评论了我们的广义外磁场模型与有利于或不利于单个自旋值的传统磁场Potts模型在热力学行为上的差异。对于零温Potts反铁磁体的有趣特例，也给出了精确结果，对应于一个集合加权色多项式$Ph(G,q,s,w)$，该多项式计算在相邻顶点颜色不同的条件下对$G$的顶点进行着色的数目，并带有有利于或不利于区间$I_s$中颜色的权重$w$。我们推导了铁磁情况下$Z(G,q,s,v,w)$的强大的新上下界，这些界用具有某些变换参数的零场Potts配分函数表示。我们还证明了不同树图族上$Z(G,q,s,v,w)$的一般不等式。作为我们分析的一部分，我们阐明了依赖于场的Potts配分函数和加权集合色多项式如何分别区分Tutte等价和色等价的图对。