有界度图上反铁磁 Potts 模型的零自由区域

对于图 $G=(V,E)$、$k\in \mathbb{N}$ 和复数 $w$，单变量 Potts 模型的配分函数定义为 $${\bf Z}(G;k,w):=\sum_{\phi:V\to [k]}\prod_{\substack{uv\in E \\ \phi(u)=\phi(v)}}w,$$ 其中 $[k]:=\{1,\ldots,k\}$。在本文中，我们给出了有界度图上反铁磁 Potts 模型配分函数的零自由区域。特别地，我们证明对任意 $\Delta\in \mathbb{N}$ 和任意 $k\geq e\Delta+1$，复平面中存在一个包含区间 $[0,1)$ 的开集 $U$，使得对任意 $w\in U$ 以及任意最大度至多为 $\Delta$ 的图 $G$ 都有 ${\bf Z}(G;k,w)\neq 0$。（此处 $e$ 表示自然对数的底。）对于较小的 $\Delta$ 值，我们能够给出更好的结果。作为我们结果的应用，我们在小最大度图的正确 $k$-染色计数确定性近似算法的存在性上获得了改进的 $k$ 界。