钻石分级图上 Potts 配分函数在 $q$ 平面上的零点

我们报告了关于 Potts 模型配分函数在复 $q$ 平面中零点（作为类温度玻尔兹曼变量 $v$ 的函数）的精确结果，针对钻石分级晶格（DHL）的第 $m$ 次迭代图 $D_m$，包括极限 $m \to \infty$。在此极限下，我们将固定 $v = v_0$ 时 $q$ 平面上零点的连续累积轨迹记为 ${\mathcal B}_q(v_0)$。我们应用复动力学定理确立 ${\mathcal B}_q(v_0)$ 的性质。对于 $v=-1$（零温 Potts 反铁磁体，或等价地，色多项式），我们证明 ${\mathcal B}_q(-1)$ 与实 $q$ 轴交于（i）最小点 $q=0$，（ii）最大点 $q=3$，（iii）$q=32/27$，（iv）我们给出的值为 $q = q_1 = 1.6388969..$ 的立方根，以及（v）小于 $q_1$ 并从上方收敛到 $32/27$ 的无穷多个点。类似结果对任一 $-1 < v < 0$（非零温 Potts 反铁磁体）的 ${\mathcal B}_q(v_0)$ 成立。对于任何 $v > 0$（Potts 铁磁体），轨迹 ${\mathcal B}_q(v_0)$ 仅与实 $q$ 轴交于两点。我们还提供了在反铁磁和铁磁 regime 中不同 $v_0$ 值下 ${\mathcal B}_q(v_0)$ 的计算机生成图，并将其与数值计算的 $Z(D_4,q,v_0)$ 零点进行比较。