通过收缩在唯一性区域内实现 Glauber 动力学的快速混合

对于一般的反铁磁 2-自旋系统，包括硬核模型和反铁磁 Ising 模型，当无限正则树位于唯一性区域时，Li 等人（2013）给出了图上最大度 $\Delta$ 的配分函数的 $\mathsf{FPTAS}$。此外，在树非唯一性区域，Sly（2010）表明除非 $\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$，否则不存在估计配分函数的 $\mathsf{FPRAS}$。算法结果源于 Weitz（2006）的相关衰减方法或 Barvinok（2016）发展的多项式插值方法。然而运行时间仅对常数 $\Delta$ 为多项式。对于硬核模型，Anari 等人（2020）近期的工作建立了在树唯一性区域中称为 Glauber 动力学的简单单点马尔可夫链的 rapid mixing。我们的工作通过考虑固定顶点 $v$ 对其他顶点的总两两影响，而非对 $v$ 的总影响，简化了他们对 Glauber 动力学的分析，从而将其工作推广到所有 2-自旋模型并改进了混合时间。更重要的是，我们的证明将三种不同的算法方法联系在一起：我们表明，以合适的势函数对树递归进行收缩——这是确立 Weitz 相关衰减方法和 Barvinok 多项式插值方法有效性的主要技术——也确立了 Glauber 动力学的快速混合。我们强调这种联系对所有 2-自旋模型（反铁磁和铁磁）都成立，并且现有的相关衰减或多项式插值证明立即蕴含 Glauber 动力学的快速混合。我们的证明利用了图配分函数整除 Weitz 的自避行走树的配分函数，从而引出分析顶点影响的新工具。