乘法函数的均匀性与某些二次方程的分划正则性

自Schur和van der Waerden定理以来，线性方程的分划正则性结果已大量涌现，但非线性方程（尤其是三变量情形）的进展甚微。我们证明了某些涉及三变量形式的方程具有分划正则性，例如方程$16x^2+9y^2=n^2$和$x^2+y^2-xy=n^2$是分划正则的，其中$n$可在$\mathbb{N}$中自由变化。对每个此类问题，我们建立了密度类比，该类比可在遍历论框架下表述为概率空间上膨胀作用的回复性质。建立这些回复性质的关键工具是一个具有独立意义的乘法函数分解结果。粗略地说，该结果指出：任意模为1的乘法函数可分解为两项，一项近似周期，另一项具有较小的三阶Gowers均匀范数。