分拆正则性与乘法 syndetic 集

我们展示了如何利用乘法 syndetic 集研究伸缩不变多项式方程组的分拆正则性。特别地，我们证明一个伸缩不变多项式方程组是分拆正则的，当且仅当它在每个乘法 syndetic 集中都有解。我们还改进 Green-Tao 与 Chow-Lindqvist-Prendiville 的方法，发展出 Roth 密度增量策略的 syndetic 版本。该论证随后被用于获得形如 $\{x, d, x + d, x + 2d\}$ 的构型的 Rado 数的界。