一致非阿门性、代价与第一 $\ell^2$-Betti 数

证明了对于任意可数群 $\G$，有 $2\beta_1(\G)\leq h(\G)$，其中 $\beta_1(\G)$ 是第一 $\ell^2$-Betti 数，$h(\G)$ 是一致等周常数。特别地，具有非零第一 $\ell^2$-Betti 数的可数群是一致非阿门的。随后，我们在测度等价关系的框架下定义了等周常数。对于类型为 $\IIi$ 的遍历测度等价关系 $R$，其一致等周常数 $h(R)$ 在轨道等价下是不变量，并满足 $$2\beta_1(R)\leq 2C(R)-2\leq h(R),$$ 其中 $\beta_1(\R)$ 是第一 $\ell^2$-Betti 数，$C(R)$ 是 Levitt 意义下 $R$ 的代价（特别是 $h(R)$ 是一个非平凡不变量）。与群的情形相反，类型为 $\IIi$ 的一致非阿门测度等价关系总是包含非阿分子树化。一致等周常数 $h(\G)$ 的遍历版本 $h_e(\G)$ 定义为：取 $\G$ 的所有本质自由遍历保测作用 $\alpha$ 所对应的等价关系 $R_\alpha$ 的一致等周常数 $h(\R_\alpha)$ 的下确界。通过建立与保测等价关系代价的联系，我们证明了对于实秩至少为 2 的半单李群中的任意格 $\G$，有 $h_e(\G)=0$（尽管 $h_e(\G)$ 一般而言不为零）。