Hitchin 泛函在 $\mathrm{G}_2$ 3-形式上的上方无界性及相关塌缩结果

本文利用缩放论证，对两个显式闭 7-流形证明了闭 $\mathrm{G}_2$ 3-形式上 Hitchin 泛函的上方无界性。第一个流形是乘积 $X \times S^1$（其中 $X$ 为 de Bartolomeis-Tomassini 构造的 Nakamura 流形），配备一个 4 维族的闭 $\mathrm{G}_2$ 3-形式，受 Fernández 一篇短文的启发。第二个是 Fernández-Fino-Kovalev-Muñoz 最近构造的流形。在后一例子中，需要仔细的奇点消解，以保证重缩放形式在上同调上恒定。通过将合适的几何估计与作者最近获得的 orbifold 一般塌缩定理结合，我们还得到了两流形大体积极限的显式描述。本文证明的显著之处在于无需显式求解闭 $\mathrm{G}_2$-结构的 Laplacian 流演化 PDE，从而可处理那些缺乏 Laplacian 流显式可解所需高度对称性的流形。