Hamilton 点动力学领域中 Noether 定理的终极推广

点动力学领域中的 Noether 定理确立了 Hamilton-Lagrange 系统的运动常数与保持作用量泛函形式的特定对称变换之间的关联。尽管通常在 Lagrange 形式下推导，但对于一阶 Lagrange 系统推导 Noether 定理的自然背景是 Hamilton 形式。原因在于，保持作用量泛函不变的变换类与正则变换类相一致。因此，Hamilton 系统的任何不变量均可仅通过正则变换规则与对称变换相关联。由于这对任何不变量均成立，我们由此获得了 Noether 定理的最一般表示。为了允许包含时间变换的对称映射，我们必须借助于扩展 Hamilton 形式。该形式使我们能够定义正则变换的生成函数，除了正则空间和动量变量的常规映射外，该函数还能映射时间和能量。作为广义 Noether 定理的示例，推导出了对应于 Kepler 系统 Runge-Lenz 不变量的对称变换的明显表示。