诺特定理对称性、动力学运动常数与谱生成代数

在基于诺特定理讨论动力学系统对称性的后果时，大多数经典或量子力学的标准教科书都给出一个结论：全局连续李对称性意味着存在一个与时间无关的守恒诺特荷，它是该对称性在相空间上作用的生成元，且必然与哈密顿量对易。然而事实未必如此，且该陈述也未能公正地体现诺特定理第一定理的完整范围与效力。实际上适用的是限制少得多的陈述，即相应的诺特荷作为相空间上的可观测量可能具有显式的时间依赖性，却仍通过其与哈密顿量非消失的对易子定义一个运动常数，从而确实定义一个动力学守恒量。此外——这当然是在哈密顿表述内——其逆陈述也成立，即任何动力学运动常数必然是某个使系统作用量在差一个全时间导数项意义下保持不变的对称性的诺特荷。本文在最适合此类问题的哈密顿表述下重新审视这些不同要点及其后果，并通过三类一般但足够简单的系统提供显式说明。