Del Pezzo 三维流形上的 Ulrich 丛

我们证明：对任意 $r \geq 2$，在任意指数为 2 的光滑 Fano 三维流形 $X$ 上，秩为 $r$、行列式为 $\mathcal O_X(r)$ 的稳定 Ulrich 丛的模空间光滑且维数为 $r^2+1$；当指数为 4 时，同样的结论对偶数 $r$ 成立，而此时不存在奇秩 Ulrich 丛。特别地，这表明任意此类三维流形都是 Ulrich 野的。作为预备结果，我们给出了任意光滑射影三维流形上存在 Ulrich 丛的充要条件，该条件用三维流形中一条具有特殊性质的曲线的存在性表述。