普适系统与度量数论

我们研究了集合 $$E_{t}=\{x\in\R^d \:|\: \|x-k-x_{i}\|<{r_{i}}^t\text{for infinitely many}(i,k)\in I^{\mu,\alpha}\times\Z^d\}$$ 的规模与大交集性质，其中 $d\in\N$，$t\geq 1$，$I$ 为可数集，$(x_{i},r_{i})_{i\in I}$ 是 $[0,1]^d\times (0,\infty)$ 中的一个族，而 $I^{\mu,\alpha}$ 表示所有满足以 $x_{i}$ 为中心、$r_{i}$ 为半径的球的 $\mu$-测度表现为 ${r_{i}}^\alpha$ 的 $i\in I$ 的集合，这里 $\mu$ 为给定的 Borel 测度，$\alpha>0$ 为给定常数。我们证明了若 $(x_{i},r_{i})_{i\in I}$ 是关于 $\mu$ 的异质普适系统，则集合 $E_{t}$ 属于关于某规度函数 $h$ 具有大交集性质的集合类 $\grint^h(\R^d)$。特别地，对于任何在零的邻域内增长速度快于 $h$ 的规度函数 $g$，$E_{t}$ 具有无限的 Hausdorff $g$-测度。我们还给出了其在度量数论中的若干应用。