可调能带的 1 维分数量子介质

分数微积分已成为地球物理学、光学和生物系统中捕捉长程关联和异常传输的关键框架。本文将分数微积分扩展到研究周期势垒中的粒子，其薛定谔方程被推广为分数形式。该框架允许我们研究 Levy 指数 $q$ 如何支配能带的形成与反转，为通过在周期量子系统中调节 $q$ 来工程化新物理行为和器件功能提供了一条途径。我们使用虚时演化算法求解周期矩形势垒（具有可变高度 $V_0$、垛厚 $L$ 和井宽 $W$）的分数薛定谔方程，并通过高斯过程回归补充离散能带。我们的分析显示，在 $q=2$ 处，能带结构出现定性变化，分为 $q>2$ 和 $q<2$ 两个 regime。对于 $q > 2$，能带发生反转变换，出现对称最小值位于第一 Brillouin 区内，从 $k=0$ 向 $k=\pm \pi/a$ 移动，随着 $q$ 的增大。这些退化最小值定义了一种 Bloch 动量量子比特，表明其类似于 valleytronics 中使用的 valley 自由度。地带响应按分数阶数缩放为 $V_0^{-0.28\pm0.05}L^{-0.34\pm0.08}W^{-0.49\pm0.06}$，表明其对几何形状具有可调的灵敏度。对于 $q < 2$，$k=0$ 处的有效质量随 $q$ 指数衰减，最终在 $q \to 1$ 时达到通用有效质量 $0.15\pm0.01$，表明 Levy 指数作为一种可调自由度，能够驱动能带反转、调制能隙并重塑载流子动力学。