原型一维正弦势中的非相互作用电子

研究了一个包含非相互作用电子的一维金属单原子固体的原型模型,其中与晶格周期相同的余弦势能的幅角包含第一倒格矢 G1 = 2pi/a,其中 a 为晶格常数。定态薛定谔方程可用约化变量写成 Mathieu 方程,并由此获得能带结构和波函数的数值精确解。能带结构具有随余弦势振幅 q 增大而增大的带隙。在扩展区方案中,能隙随布里渊区边界 ka = n pi 的索引 n 增大而减小,其中 k 为电子的晶体动量。发现能带底部和顶部的波函数分别为实或虚,对应于这些能量处的驻波。无论波矢 k 在第一布里渊区内如何,电子概率密度均被发现与晶格周期相同。推导了波函数相对于 q 的傅里叶分量,其揭示了波函数中具有可变振幅的多个倒格矢分量(除非 q = 0)。对于 ka = pi/2 和 q = 2,发现傅里叶分量的幅度在 n ~ 3 到 45 时作为 n 的幂呈指数衰减,并对数据获得了精确拟合。还讨论了由波函数得到的概率密度和概率流。发现对于能带顶部和底部的晶体动量,概率流为零,因为这些晶体动量的波函数是驻波。最后,由中心方程计算能带结构,并与数值精确能带结构进行比较。