具有最大 p-增强数的树

设 $G=(V,E)$ 为一个图，$p$ 为一个正整数。$p$-控制数 $\g_p(G)$ 是集合 $D\subseteq V$ 的最小基数，使得对于所有 $x\in V\setminus D$，满足 $|N_G(x)\cap D|\geq p$。$p$-增强数 $r_p(G)$ 是添加到 $G$ 中以得到图 $G'$ 的最少边数，使得 $\g_p(G')<\g_p(G)$。最近，Lu 等人证明了对于树 $T$ 且 $p\geq 2$，有 $r_p(T)\leq p+1$。在本文中，我们刻画了所有在 $p\geq 3$ 时达到该上界的树。