Kawahara 方程及相关方程的行波解

利用一种比 $\mathrm{tanh}$-方法更通用的椭圆函数方法，找到了 Kawahara 方程 (KE)、传输线 (TL) 和 Korteweg-de Vries (KdV) 方程的行波解。该方法通过假设多项式假设满足 Weierstrass 方程来运作，具有两个优点：首先，它将假设中的项数减少了一个数量级；其次，它使用了满足因变量椭圆方程的 Weierstrass 函数，而非仅满足常系数 Riccati 方程的双曲正切函数。当行波变量中的多项式假设为一阶时，方程简化为仅包含三次色散项的 KdV 方程；而对于包含五次色散项的 KE，多项式假设必须为二次型。通过求解系数依赖于边界条件、行波速度、非线性强度和色散系数的椭圆方程，在 KdV 方程情况下，我们发现了零边界条件下的著名孤立波 (solitons)，以及非零边界条件下的 cnoidal 波列。这两种解要么是压缩型（亮）要么是稀疏型（暗），并且要么向左要么向右以任意速度传播。