高阶 KdV--BBM 长波方程的椭圆解与孤立波

我们给出了三阶和五阶 KdV--BBM (Korteweg-de Vries--Benjamin, Bona & Mahony) 正则化长波方程存在双曲解、无界周期解以及用 Weierstrass $\wp$ 函数表示的椭圆解的条件。我们发展了初值问题的分析，并建立了三阶 KdV--BBM 方程的局部和整体适定性理论。行波约化与零边界条件结合产生了孤子与无界周期解，而对于非零边界条件，我们找到了用 Weierstrass 椭圆 $\wp$ 函数表示的解。对于五阶 KdV--BBM 方程，我们证明了参数 $\gamma=\frac {1}{12}$（此时方程具有哈密顿量）代表一种限制，使得约束曲线永远不会与无界孤立波区域相交，这反过来表明只存在暗孤子或亮孤子，而无无界解。受 $\gamma\neq\frac{1}{12}$ 时缺乏哈密顿结构的启发，我们建立了 $H^k$ 估计，并证明了对于非哈密顿系统，暗孤子和亮孤子与无界周期解共存。对于非零边界条件，由于椭圆方程系数的非线性代数系统的复杂性，我们仅针对一组特定参数构造了 Weierstrass 解。