加权网络中的输运与渗流理论

我们研究了具有 $N$ 个节点的 Erd\H{o}s-R\'enyi (ER) 和无标度 (SF) 加权电阻网络中等效电导 $\sigma$ 的分布 $P(\sigma)$。每条链路的电导为 $g\equiv e^{-ax}$，其中 $x$ 是从 0 到 1 之间的均匀分布中取出的随机数，参数 $a$ 表示无序的强度。我们提供了一种迭代快速算法来获得 $P(\sigma)$，并将其与求解基尔霍夫方程的传统算法进行比较。我们在解析和数值上都发现，ER 网络的 $P(\sigma)$ 表现出两个区域。(i) 对于 $\sigma < e^{-ap_c}$ 的低电导区域，其中 $p_c=1/\av{k}$ 是网络的临界渗流阈值，$\av{k}$ 是网络的平均度。在此区域中，$P(\sigma)$ 与 $N$ 无关，并遵循幂律 $P(\sigma) \sim \sigma^{-\alpha}$，其中 $\alpha=1-\av{k}/a$。(ii) 对于 $\sigma >e^{-ap_c}$ 的高电导区域，我们发现 $P(\sigma)$ 具有很强的 $N$ 依赖性，并标度为 $P(\sigma) \sim f(\sigma,ap_c/N^{1/3})$。对于度分布为 $P(k)\sim k^{-\lambda}$，$k_{min} \le k \le k_{max}$ 的 SF 网络，我们在数值上也发现了两个区域，类似于在 ER 网络中发现的情况。