随机网络中的子图

了解随机网络中子图分布对于建模复杂系统至关重要。在经典的 Erdos 网络中，具有 n 个节点和 g 条边的子图 G 的出现次数随网络大小的扩展方式为 \mean{G} ~ N^{n-g}。然而，许多自然网络具有非泊松分布。本文提出了针对由任意度序列构成的稀疏有向随机网络集合中子图平均数量的近似公式。我们发现，对于常见的有向幂律网络（其中外向度分布满足 P(k) ~ k^{-\gamma}），会出现新的扩展规律。将度分布的幂指数 \gamma 作为控制参数，我们展示了随机网络在三个不同规模行为之间的转变。在每个规模行为中，子图出现次数遵循不同的扩展定律：当 \gamma<2 时，\mean{G} ~ N^{\alpha}，其中 \alpha=n-g+s-1；当 2<\gamma<\gamma_c 时，\alpha=n-g+s+1-\gamma；当 \gamma>\gamma_c 时，\alpha=n-g。s 为子图中最大的外向度，\gamma_c=s+1。我们发现某些子图的出现频率远高于 Erdos 网络。这一结果与数值模拟结果一致。这对检测网络基位（网络中显著多于其随机化版本的子图）具有重要意义。