随机超图中节点邻居数量的分布

超图是图的推广，其中边是由 $r$ 个节点组成的集合，称为秩 $r\geq 2$ 的超边，它是研究超越成对水平相互作用系统的优良模型。对于超图，节点度 $\ell$（连接到节点的超边数量）与节点的邻居数量 $k$ 彼此不同，这与图的情况形成对比。在此，我计算了随机超图中节点邻居数量的分布，其中均匀秩 $r$ 的超边以均匀概率 $p$ 出现。该分布等价于来自超图或二分网络系综的投影图系综的度分布，其中当两个节点在超图或二分网络中也相连时，投影图将它们连接起来。由于邻居节点可能同时属于多个超边（节点重叠），该计算并非平凡。基于精确结果，重新推导并改进了传统的稀疏（小 $p$）渐近近似；该近似表现出类泊松行为，并伴随着由系统大小 $N$ 中的幂律衰减调制的强涨落，其衰减指数等于给定邻居数量可能的最小重叠节点数。结果表明，如果忽略重叠，则无法解释稠密极限，并提供了正确的渐近分布。邻居分布的计算需要一个新的组合系数 $Q_{r-1}(k,\ell)$，用于统计具有 $k$ 个节点、$\ell$ 个秩 $r-1$ 超边且每个节点至少连接到一个超边的不同标记超图的数量。推导了 $Q_{r-1}(k,\ell)$ 的一些恒等式，并将其应用于验证归一化以及计算邻居分布的矩。