平移不变二次型与稠密素数集合

设 $f(x_1,\ldots,x_s)$ 为具有整数系数且 $s\ge 10$ 的平移不变不定二次型。设 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}\cap \{1,2,\ldots,X\}$。设 $X$ 充分大。在满足秩条件的前提下，我们证明只要 $|\mathcal{A}|\ge \frac{X}{\log X} (\log\log X)^{-\frac{1}{80}}$，即存在互不相同的素数 $p_1,\ldots,p_s\in \mathcal{A}$ 使得 $f(p_1,\ldots,p_s)=0$。