黎曼算子行列式的超越性：论高次 K-群

在先前论文中，我们研究了黎曼算子行列式 $G_{K}(s)$ 的基本性质：该算子 ${\mathcal R}$ 作用于 $\bigoplus_{n>1} K_{n}(A)_{\mathbb{C}}$，其中 $A$ 是代数数域 $K$ 的整数环。函数 $G_{K}(s)$ 定义为正则化行列式 $$G_{K}(s) = {\rm det} ((s I-\mathcal{R}) | \bigoplus_{n>1} K_{n}(A)_{\mathbb{C}} )$$ 且 $\mathcal{R} | K_{n}(A)_{\mathbb{C}} = \frac{1-n}{2}$。我们证明了 $G_{K}(s)^{-1}$ 本质上即为所谓的 $K$ 的戴德金 zeta 函数的 gamma 因子。本文研究对某些有理数 $s$ 的 $G_{K}(s)$ 的超越性。结果依赖于 $K$ 的类型。例如，我们证明了若 $K$ 是全虚的，则 $G_{K}(\frac{1}{3})$ 是超越数；否则 $G_{K}(\frac{1}{2})$ 是超越数。